3 Juegos
En lo que sigue vamos a formalizar una interacción estratégica entre \(n\) individuos o agentes. Diremos que \(X_i\) es un conjunto de planes, estrategias o acciones factibles del agente \(i\in\{1,..,n\}\).
Para tener una interacción estratégica requerimos que las acciones de un individuo \(i\) afecten la toma de decisiones de otro u otros agentes. Siguiendo a Vial y Zurita (2011), diremos que las acciones de los individuos pueden afectar directamente o indirectamente.
La toma de decisiones será represemtada por la resolución de un problema de maximización con restricciones. Donde la función objetivo es una relación entre las acciones de los agentes y una valoración subjetiva del tomador de decisión en particular. Así, diremos que \(u_i:X_1\times \ldots\times X_n\rightarrow\mathbb{R}\) es dicha función objetivo que se verá afectada directamente por los planes de los demás agentes en la interacción.
La afectación indirecta, en cambio, se modela a través de la dependencia de las restricciones respecto de los planes de los demás individuos. Es decir, si el conjunto de planes factibles depende de las acciones de los indivuduos. Por ejemplo, si \(X_i(x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},x_n)\) para \(x_{-i}\) una estrategia de un agente diferente a \(i\) perteneciente a su conjunto factible \(X_{-i}\).
Representación en forma normal
Un interacción estratégica diremos que está representada en forma normal si se puede resumir por la siguiente tupla:
\[\left(N=\{1,...,n\},(X_i)_{i\in N},(u_i)_{i\in N}\right)\]
Donde \(N\) es el conjunto de agentes participantes y \((X_i,u_i)\) el conjunto de planes factibles y la función objetivo de cada agentes participane \(i\in N\).
Ejemplos Vial y Zurita (2011) p. 356
Dilema del prisionero
\[\begin{array}{ccc} & \text{Confesar} & \text{No Confesar} \\ \text{Confesar} & 0,0 & 15,-5 \\ \text{No confesar} & -5,15 & 10,10 \end{array}\]Duopolio de Cournot
\[u_i(x_i,x_{-i})=(a-b(x_{i}+x_{-i})-c)x_i\]
EJERCICIO. Describa en forma normal los ejemplos anteriores.
Equilibrio de la interacción
Una forma de análisis de estas interacciones es tratar de aprovechar algunas herramientas para predecir el comportamiento de los agentes. La noción de equilibrio se establece, intuitivamente, como una forma de definir la situación “predecible” de comportamiento de los agentes. Para poder definir expresamente esa noción requerimos de algunos conceptos preliminares como el siguiente.
DEFINICIÓN. Una estrategia \(\hat x_i\in X_i\) de un jugador \(i\in N\) es dominante si \(u_i(\hat x_i,x_{-i})\geq u_i(x_i,x_{-i})\) para toda estrategia \(x_i\in X_i\) y para toda estrategia \(x_{-i}\in X_1\times\ldots X_{i-1}\times X_{i+1}\times\ldots\times X_n\).
Con este concepto introduciremos la noción de equilibrio de Nash como una situación en la cual todos los agentes eligen sus estrategias dominantes.
DEFINICIÓN. Un equilibrio de Nash es un vector de estrategias \(x^*\in X_1\times\ldots\times X_n\) tal que para todo \(i\in N\) tenemos que: \[u_i(x_i^*,x_{-i}^*)\geq u_i(x_i,x_{-i}^*),\] para toda \(x_i\in X_i\).